Objetivo Particular del Periodo:
El alumno entenderá el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.
2.1 Antiderivada.
El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama in-tegración, y la función a determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada.
Con el objetivo de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos en-contrar una función F(x), cuya derivada sea igual a f(x).
Por ejemplo, supongamos que f(x) 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3) 3x2, concluimos que pode-mos elegir F(x) x3. En consecuencia, una antiderivada de 3x3 es x3.
El símbolo dx indica la integral, con respecto a x, de. Es el inverso del símbolo d d x
que significa derivada, con respecto a x, de ... El signo de integral y dx van jun-tos. El signo de integral indica la operación de integración y dx especifica que la va-riable de integración es x. El integrando siempre se coloca entre el signo de integral y la diferencial de la variable de integración.
Si F(x) es una antiderivada particular de f(x), entonces,
f(x) dx F(x) C
en donde C es una constante arbitraria.
Por ejemplo,
3x2 dx x3 C (1)
A partir de la definición de integral, es claro que
d
d x
f(x) dx f(x)
Esto es, el proceso de diferenciación neutraliza el efecto del proceso de integración.
2.2 Integral Indefinida.
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
2.2.1 Integración con Condiciones Iniciales.
Hemos estado analizando temas de gran importancia que son necesarios para entender el entorno que rodea al cálculo de Integrales. Así que para continuar con el mismo camino, en esta ocasión tocaremos un tema que también es muy interesante y ayudara a comprender mejor el mundo de las integrales. Me refiero a la constante de integración.
Dentro del cálculo, cualquier integral indefinida de una función se escribe siempre con una constante, la cual se llama constante de integración. La constante de integración se encarga de expresar una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas.
Como ya lo sabes, al derivar cualquier función constante, obtendremos como resultado cero. Una vez encontrado dicho resultado se considera una primitiva F a la cual se le puede sumar o restar una constante C, con lo cual se obtiene otra primitiva. Con esto lo que se trata de explicar es que la constante es una manera de expresar que cualquier función cuenta con un número infinito de primitivas diferentes.
Para un mejor entendimiento te invito a que observes las funciones que se te presentan a continuación, en las que podemos darnos cuenta de que la constante C puede tomar valores diferentes tal y como se te explico anteriormente, valores que pueden ser restados o sumados a la función original. Los ejemplos son los siguientes:
- f(x) = x + 2
- f(x) = x – 8
- f(x) = x + 1
Podemos observar que en estos ejemplos, las constantes de integración tienen valores de 2, -8 y 1. Ahora supongamos que derivamos las 3 funciones, y obtenemos los siguientes resultados:
- f ‘ (x) = x
- f ‘ (x) = x
- f ‘ (x) = x
Como te puedes dar cuenta, los resultados de las 3 funciones son el mismo, ¿A qué se debe esto?, ¿Qué pasó con los valores 2, -8 y 1? Es importante aclarar que dentro del cálculo diferencial estos valores tienen un valor de 0, al contrario del cálculo integral, donde son de gran importancia si se quieren obtener las funciones originales a partir de las funciones que ya han sido derivadas.
2.3 Fórmulas Básicas de Integración.
La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo
La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)
La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo
La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.
La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la formula ;) Ejemplo.
La integral de un Binomio (V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio (V) mas la exponenciación + 1.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.
El 2 que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con medios, extremos con extremos.
2.3.1 Integral indefinida de una Constante.
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
2.3.2 Integral de una Constante por una Variable.
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Ejemplo
2.3.3 Integral de xn.
xn1
n 1
☛ 2. Encuentre a) x4 dx
b) x1/2 dx
Respuesta a) 1
5
x5 C
b) 2
3
x3/2 C
Así, si se quiere integrar cualquier potencia de x con excepción de la recípro-ca de la primera potencia, debemos aumentar la potencia en 1, luego dividimos entre el nuevo exponente y, por último, sumamos la constante de integración ar-bitraria.
Esta fórmula se obtiene a partir de la fórmula correspondiente para derivadas.
Observemos que
d
d x
n
x
n1
1
n
1
1
d
d x
(xn1)
n
1
1
(n 1)xn xn
En consecuencia, dado que la derivada de xn+1/(n 1) es xn, una antiderivada de xn debe ser xn+1/(n 1). La antiderivada general se obtiene sumando la constante de integración.
EJEMPLO 1
a) x3 dx C C (n 3)
b)
x
1
2
dx x2 dx C
x 1
1
C
1 x
C (n 2)
c) dt t1/2 dt C 2t C (n
1 2
)
d) dx 1 dx x0 dx
0
x
01
1
C x C (n 0) ☛ 3
Varias fórmulas que dan antiderivadas de funciones simples aparecen en la tabla 1. Cada fórmula se establece por segunda vez con la variable u en vez de x. Todos estos resultados se obtienen a partir de los resultados correspondientes para derivadas. La fórmula 2 requiere algún comentario. Si x > 0, esta fórmula es correc-ta, ya que |x| x, y sabemos que
d
d x
ln x
1 x
https://www.youtube.com/watch?v=yXN6H5lg054
2.3.4 Integral de en.
EJEMPLO 3
Evalúe ex 2
5x
(2x 5) dx
Solución Observemos que (2x 5) dx aparece en la integral y esta cantidad es la
diferencial de x2 5x. En consecuencia, hacemos u x2 5x. Luego, du
(2x 5) dx y la integral se transforma en
ex 2
5x
(2x 5) dx eu du eu C ex 2
5x C
Algunas veces, la diferencial exacta apropiada no aparece en la integral misma,
sino que la función debe multiplicarse o dividirse por cierta constante.
2.3.5 Integral de una constante por una función de x.
Tenemos que
d
d
x
c f(x) dx c d
d
x
f(x) dx c f(x)
Por consiguiente, cf(x) es la derivada de c f(x) dx, y así a partir de la definición
de antiderivada, se sigue que c f(x) dx debe ser la antiderivada de cf(x). En otras
palabras,
c f(x) dx c f(x) dx
lo cual prueba el resultado.
Como resultado de este teorema, se sigue que podemos sacar cualquier constante
multiplicativa del interior del signo de integral.
2.3.6 Integral de una Suma (Diferencia) de Funciones.
TEOREMA 2
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales.
[f(x) g(x)] dx f(x) dx g(x) dx.
Observación Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones
o a cualquier suma algebraica de un número finito de funciones.
2.3.7 Regla de la Potencia.
La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la composición de funciones.
Ejemplos:
2.3.7.1 Integrales que incluyen un.
TEOREMA 1
Si f(u) du F(u) C, entonces,
f[g(x)]g′(x) dx F[g(x)] C
para cualquier función diferenciable g que no sea una función constante.
Ilustramos este teorema con algunos ejemplos antes de demostrarlo. Iniciamos
con la fórmula de la potencia
un du C (n 1)
que corresponde a tomar f(u) un y F(u) un 1/(n 1). Entonces, de acuerdo con
el teorema 1, debemos reemplazar el argumento u en estas dos funciones por g(x):
f[g(x)] [g(x)]n y F[g(x)]
Entonces, en este caso particular el teorema establece que
[g(x)]n g′(x) dx C (n 1)
En este resultado, g(x) puede ser cualquier función diferenciable que no sea
constante.
Por ejemplo, tomamos g(x) x2 1 y n 4. Entonces g′(x) 2x y obtenemos
(x2 1)4 2x dx C
Después de dividir entre 2, esto se transforma en
(x2 1)4x dx C1
(x2 1)
5
10
(x2 1)4 1
4 1
[g(x)]
n 1
n 1
[g(x)]
n 1
n 1
un 1
n 1.
2.3.7.2 Integrales que incluyen Funciones Exponenciales.
EJEMPLO 1
Evalúe (x2 3x 7)5(2x 3) dx
Solución Observamos que la diferencial de x2 3x 7 es igual a (2x 3) dx, que
aparece en la integral. Por tanto, hacemos x2 3x 7 u. Luego, (2x 3) dx
du. Usando esta sustitución, la integral se reduce a
(x2 3x 7)5(2x 3) dx u5 du C
1
6
(x2 3x 7)6 C
en donde sustituimos el valor de u otra vez.
2.3.8 Integrales que incluyen Funciones Logarítmicas.
EJEMPLO 2
Calcule dx
Solución La integral dada es
dx
1
x
dx
1
ln x
1
x ln x
1
x ln x
u6
6
☛ 8. Establezca los resultados
que se obtienen a partir de la
fórmula para la potencia tomando
a) g(x) x2 1 y n 1
2
b) g(x) ln x y n 2
Respuesta
a) x 2 1 2x dx
2
3
(x2 1)3/2 C
b) x(ln
1
x) 2 dx ln
1
x
C
SECCIÓN 15-2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 631
632 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN
Obsérvese que hemos separado el integrando de tal manera que la expresión (1/x)
dx ocurre como un factor distinto. Ésta es la diferencial de ln x, y más aún, el resto
del integrando también es una función simple de ln x. De modo que hacemos ln x
u. Se sigue que (1/x) dx du. La integral dada se reduce ahora a
dx
1
x
dx
1
u
du ln u C
ln ln x C
después de sustituir u ln x
A partir de estos ejemplos observamos que la técnica apropiada al utilizar el
método de sustitución consiste en buscar una función u g(x) con una diferencial
g′(x) dx que aparezca en la integral original. El resto del integrando debe ser una
función simple de u. La elección de la sustitución no es del todo obvia, pero pronto
aprenderemos por experiencia cómo reconocer la correcta.
2.3.9 Integrales que incluyen (1/u) du.
La fracción 
puede escribirse así:
puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
2.3.10 Integrales incluyen au.
Una integral equis elevado a una potencia constante que nombraremos como ene de u, es igual a elevar equis a ene más uno entre ene más uno:
∫uⁿdu=uⁿ⁺¹+c x≠⁻¹
n+1
La potencia siempre debe ser positiva para poder emplear esta fórmula.
Otras fórmulas a emplear son:
∫dx=x+c
∫du=Ln|u|
Ejemplos:
∫3dx=3∫x⁻²dx
=3x⁻¹+c
-1
=-3+c
x
∫uⁿdu=uⁿ⁺¹+c x≠⁻¹
n+1
La potencia siempre debe ser positiva para poder emplear esta fórmula.
Otras fórmulas a emplear son:
∫dx=x+c
∫du=Ln|u|
Ejemplos:
∫3dx=3∫x⁻²dx
=3x⁻¹+c
-1
=-3+c
x
2.3.11 Integral por Partes.
EJEMPLO 1
Evalúe xe2x dx
Solución Elijamos f(x) x y g(x) e2x
, de modo que la integral dada tiene la forma
∫ f(x)g(x) dx. Se sigue que f′(x) 1 y G(x), la integral de g(x), está dada por
G(x) 1
2
e2x C1, en donde C1 es una constante de integración. Sustituyendo estas
expresiones en la fórmula de integración por partes,
en donde otra vez C es una constante de integración.
La integral de este ejemplo también pudo encontrarse usando la fórmula 69
del apéndice II. El lector deberá verificar que la respuesta obtenida sea la misma que
la del ejemplo 1.
2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.
EJEMPLO 1
Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa
como una función del tiempo t y depende también de la cantidad A gastada en la
campaña publicitaria. Si, con t medido en meses y A en dólares,
x 200(5 e0.002A)(1 et
)
calcule
x/
t y
x/
A. Evalúe estas derivadas cuando t 1 y A 400 e interprétalas.
Solución Tenemos que
x
t
200(5 e0.002A)et
,
A
x
0.4e0.002A(1 et
)
Haciendo t 1 y A 400, obtenemos los valores
x
t
200(5 e0.8)e1 335,
A
x
0.4e0.8(1 e1) 0.11
La derivada parcial
x/
t representa la tasa de incremento en el volumen de ventas con
respecto al tiempo cuando el gasto en publicidad se mantiene fijo. Por ejemplo, cuando este gasto está fijo en $400, el volumen de ventas después de un mes (t 1) crece
a una tasa instantánea de 335 por mes.
De manera similar,
x/
A da el incremento en el volumen de ventas en un instante
fijo que ocurre por cada dólar adicional gastado en publicidad. En el instante
t 1, cuando $400 ya se han gastado en publicidad, un dólar adicional gastado incrementará
el volumen de ventas en 0.11 unidades.
Conclusión:
Durante esta unidad vimos las antiderivadas; y las múltiples variedades de integrales que existen, mediante las fórmulas de éstas mismas; aprendimos la regla de la potencia, y su aplicación para determinar las funciones de costos, utilidades, consumo y ahorro.
Bibliografía:
Uttab.
(2011). Concepto de Antiderivada. 25/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=V5bcTzNuy6g
Fredy
Rojas Bernal. (2013). Ejercicio de integral indefinida. Ejemplo 1. 25/1172015,
de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=5_QWKbejzok
Uncategorized.
(2012). La constante de integración y sus condiciones iniciales. 25/11/2015, de
Cálculo Integral Sitio web: https://calculointegralunivia.wordpress.com/2012/03/23/la-constante-de-integracion-y-sus-condiciones-iniciales/
Locoraphael.
(2010). Introducción a las Fórmulas Básicas de Integración.. 25/11/2015, de
Ingeniería en Sistemas de UAT Matamoros Sitio web: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/
Autónoma
de las Américas.. (2013). Integral Indefinida para una Constante. 25/11/2015,
de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=fiMBm-1OfQk
Salvador
FI. (2014). Integración por Cambio de Variable [04]. 25/11/2015, de Youtube
Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=0xBi6SLtoA4
math2me.
(2013). Integrales definidas del tipo x^n. 26/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yXN6H5lg054
math2me.
(2012). Integral de una función exponencial - HD. 26/11/2015, de Youtube Sitio
web: https://www.youtube.com/watch?v=G2fJyo-T1_8
Profe
Bonny. (2015). INTEGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. 26/11/2015, de
Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9pwt-WKUtDE
math2me.
(2012). Integral de la suma o resta de funciones - HD. 26/11/2015, de Youtube
Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk
Ryder.
(2015). Regla de la Cadena. 26/11/2015, de Dervor Sitio web: http://www.dervor.com/derivadas/regla_cadena.html
Tareasplus.
(2011). Regla de la cadena parte 1. 26/1172015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=eZM3GAC4y7s
Math2me.
(2013). Integrales definidas del tipo x^n. 26/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yXN6H5lg054
Tareasplus.
(2012). Integral de la función exponencial. 26/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI
math2me.
(2012). Funciones con logaritmo natural (integral por sustitución) - HD.
26/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=3m-10Npe_IQ
Calculandox.
(2013). 05 integral 1/(x^(2))dx. 26/11/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ZFZRid582Lk
Professor.ingeniero.
(2013). INTEGRAL DE UNA EXPONENCIAL ejemplos resueltos. 26/11/2015, de Youtube
Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=nFKDZ4fyihw
julioprofe.
(2009). Integración por Partes - Ejercicio 1. 26/11/2015, de Youtube Sitio web:
https://www.youtube.com/watch?v=CavjhBTYma8
Jagdish C. Arya & Robin W. Lardner. (2002). Matemáticas
aplicadas a la administración y a la economía. México: Pearson
este blog tiene muy buena información esta bien explicado. y muy bien informado
ResponderEliminarMigue me encanto tu blog! De verdad la informacion que pusiste es de las mejores que evisto me agrado mucho como desarrollaste las integrales te felicito porque me ayudo a darme cuenta de como realizarlas mejor y los videos que pusiste sin duda los mejores te felicito que buen blog !
ResponderEliminarmuy buen blog, me agrado la informacion sobre integrales
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